Задачі підвищеної складності: 5

5. Доведіть, що, коли a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, d ≥ 0, справджується нерівність.

Оскільки а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, d ≥ 0, тоді обидві частини нерівності

невід’ємні. Розглянемо різницю квадратів лівої і правої частин.

((a+ c)(b+ d))² – (ab + cd)² = (a + c)(b + d) – ab – 2abcd – cd = ab + ad + bc + cd – ab – cd – 2abcd = ad – 2abcd + bc = (ad)² – 2ad • bc + (bc)² = (ad – bc)² ≥ 0.

Тоді і (a+ c)(b+ d) ≥ ab + cd.