Задачі підвищеної складності: 5

5. Доведіть, що, коли a $\ge$ 0, b $\ge$ 0, c $\ge$ 0, d $\ge$ 0, справджується нерівність.

Оскільки а $\ge$ 0, b $\ge$ 0, с $\ge$ 0, d $\ge$ 0, тоді обидві частини нерівності

невід’ємні. Розглянемо різницю квадратів лівої і правої частин.

($\sqrt{(a+c)(b+d)}$)² – ($\sqrt{\mathrm{ab}}$ + $\sqrt{\mathrm{cd}}$)² = (a + c)(b + d) – ab – 2$\sqrt{\mathrm{abcd}}$ – cd = ab + ad + bc + cd – ab – cd – 2$\sqrt{\mathrm{abcd}}$ = ad – 2$\sqrt{\mathrm{abcd}}$ + bc = ($\sqrt{\mathrm{ad}}$)² – 2$\sqrt{\mathrm{ad}}$ • $\sqrt{\mathrm{bc}}$ + ($\sqrt{\mathrm{bc}}$)² = ($\sqrt{\mathrm{ad}}$ – $\sqrt{\mathrm{bc}}$)² $\ge$ 0.

Тоді і $\sqrt{(a+c)(b+d)}$ $\ge$ $\sqrt{\mathrm{ab}}$ + $\sqrt{\mathrm{cd}}$.