Задачі підвищеної складності: 3

3. Доведіть, що для невід’ємних значень змінних x і y

справджується нерівність.

1) x³ + y³ ≥ х²у + ху². х³ + y³ – х²у – ху² = (х + y)(х² – ху + у²) – ху(х + у) = (х + у)(х² – ху + у² – xy) = (х + y)(х – y)² ≥ 0 при х ≥ 0 і у ≥ 0;

2) (х + у)³ ≤ 4(х³ + у³). (х + у)³ – 4(х³ + у³) = (х + )³ – 4(х + y)(х² – ху + у²) = (х + у)((х + y)² – 4(х² – ху + у²) = (х + у)(х² + 2ху + y² – 4х² + 4хy – 4y²) = (х + y)(–Зх² + 6хy – 3у²) = –3(х + у)(х – y)² ≤ 0 при х ≥ 0 і у ≥ 0.