Задачі підвищеної складності
Задачі підвищеної складності: 1
Готова відповідь до завдання 1 з ГДЗ Алгебра 9 клас Істер.
Алгебра, 9 клас · Задачі підвищеної складності
Текстова відповідь
1. Доведіть нерівність.
1) (х3 – у3)(х – у) ≥ 3xy(x – у)2.
Складемо різницю лівої і правої частин і оцінимо її:
(х3 – у3)(х – у) – Зхy(х – y)2 = (х – у)(х2 + ху + у2)(х – у) – Зху(х – y)2 = (х – у)2(х2 + ху + у2 – Зху) = (х – у)2(х2 – 2ху + у2) = (х – у)2(х – y)2 = (х – y)4 ≥ 0 при будь–якому значенні змінних x і у.
2) (х2 – y2)(х4 – у4) ≤ (х3 – y3)2. (х2 – y2)(х4 – у4) – (х3 – у3)2 = (х – у) • (х + у)(х2 + у2)(х + у)(х – у) – (х – у)2(х2 + ху + у2)2 = (х – y)2((х + y)2(x2 + у2) – (х2 + ху + у2)2) = (х – y)2((х2 + у2 + 2ху)(х2 + у2) – (х2 + у2 + ху)2) = (x – y)2((x2 + y2)2 + 2ху(x2 + y2) – (x2 + y2)2 – 2(x2 + y2)ху – x2y2) = (х – у)2(–х2y2) = –x2y2(x – y)2 ≤ 0 при будь–якому значенні змінних х і у.