Задачі підвищеної складності: 13

13. Доведіть нерівність:

За нерівністю Коші 1 + $\frac{x^2}{\mathrm{yz}}$ ≥ $\frac{2x}{\sqrt{\mathrm{yz}}}$; 1 + $\frac{y^2}{\mathrm{xz}}$ ≥ $\frac{2y}{\sqrt{\mathrm{xz}}}$; 1 + $\frac{z^2}{\mathrm{xy}}$ ≥ $\frac{2z}{\sqrt{\mathrm{xy}}}$.

Перемножимо ці нерівності почленно (x > 0, y > 0, z > 0 за умовою).

(1 + $\frac{x^2}{\mathrm{yz}}$)(1 + $\frac{y^2}{\mathrm{xz}}$)(1 + $\frac{z^2}{\mathrm{xy}}$) ≥ $\frac{2x•2y•2z}{\sqrt{\mathrm{zy}•\mathrm{xz}•\mathrm{xy}}}$;

(1 + $\frac{x^2}{\mathrm{yz}}$)(1 + $\frac{y^2}{\mathrm{xz}}$)(1 + $\frac{z^2}{\mathrm{xy}}$) ≥ $\frac{8\mathrm{xyz}}{\sqrt{x^2{y}^2{z}^2}}$; (1 + $\frac{x^2}{\mathrm{yz}}$)(1 + $\frac{y^2}{\mathrm{xz}}$)(1 + $\frac{z^2}{\mathrm{xy}}$) ≥ 8.