Задачі підвищеної складності: 13

13. Доведіть нерівність:

За нерівністю Коші 1 + x2yz ≥ 2xyz; 1 + y2xz ≥ 2yxz; 1 + z2xy ≥ 2zxy.

Перемножимо ці нерівності почленно (x > 0, y > 0, z > 0 за умовою).

(1 + x2yz)(1 + y2xz)(1 + z2xy) ≥ 2x •2y •2zzy •xz •xy;

(1 + x2yz)(1 + y2xz)(1 + z2xy) ≥ 8xyzx2y2z2; (1 + x2yz)(1 + y2xz)(1 + z2xy) ≥ 8.