Задачі підвищеної складності: 12

12. Розв’яжіть рівняння з трьома змінними:

Застосуємо нерівність Коші (a+b2 ≥ ab) до кожного з доданків лівої частини рівняння: х + 1 ≥ 2х; у + 1 ≥ 2у; z + 1 ≥ 2z, звідки

х+1х ≥ 2; y+1y ≥ 2; z+1z ≥ 2 (x > 0, y > 0, z > 0 – випливає з умови). Очевидно, що при х = 1 х+1х = 2, при у = 1 у+1у = 2, при z = 1 z+1z = 2, тоді x+1x + y+1y + z+1z = 2 + 2 + 2 = 6.

Відповідь: x = y = z = 1.