Задачі підвищеної складності: 12

12. Розв’яжіть рівняння з трьома змінними:

Застосуємо нерівність Коші ($\frac{a+b}{2}$ ≥ $\sqrt{\mathrm{ab}}$) до кожного з доданків лівої частини рівняння: х + 1 ≥ 2$\sqrt{х}$; у + 1 ≥ 2$\sqrt{у}$; z + 1 ≥ 2$\sqrt{z}$, звідки

$\frac{х+1}{\sqrt{х}}$ ≥ 2; $\frac{y+1}{\sqrt{y}}$ ≥ 2; $\frac{z+1}{\sqrt{z}}$ ≥ 2 (x > 0, y > 0, z > 0 – випливає з умови). Очевидно, що при х = 1 $\frac{х+1}{\sqrt{х}}$ = 2, при у = 1 $\frac{у+1}{\sqrt{у}}$ = 2, при z = 1 $\frac{z+1}{\sqrt{z}}$ = 2, тоді $\frac{x+1}{\sqrt{x}}$ + $\frac{y+1}{\sqrt{y}}$ + $\frac{z+1}{\sqrt{z}}$ = 2 + 2 + 2 = 6.

Відповідь: x = y = z = 1.