Задачі підвищеної складності: 10

10. Між числами $\frac{4}{7}$ і $\frac{5}{7}$ знайдіть число, що дорівнює квадрату раціонального числа. Скільки існує таких чисел?

Зведемо дроби $\frac{4}{7}$ і $\frac{5}{7}$ до одного знаменника, дільником якого є повний

квадрат. Наприклад: $\frac{4•36}{7•36}$ = $\frac{144}{252}$; $\frac{5•36}{7•36}$ = $\frac{180}{252}$.

Підберемо дріб між числами $\frac{144}{252}$ і $\frac{180}{252}$, у якого після скорочення чисельник і знаменник — повні квадрати.

Наприклад: $\frac{144}{252}$ < $\frac{175}{252}$ < $\frac{180}{252}$; $\frac{144}{252}$ < $\frac{25•7}{36•7}$ < $\frac{180}{252}$; $\frac{144}{252}$ < $\frac{25}{26}$ < $\frac{180}{252}$.

Таких дробів можна підібрати безліч.

Відповідь: $\frac{25}{36}$.