Задачі підвищеної складності: 11

11. Який дріб ближче до одиниці: правильний чи обернений йому неправильний?

Розглянемо розміщення чисел. 1, $\frac{a}{b}$ і $\frac{b}{a}$ на координатній прямій.

Нехай А(1), В($\frac{a}{b}$), C($\frac{b}{a}$), a < b.

AB = 1 – $\frac{a}{b}$ = $\frac{b-a}{b}$; AC = $\frac{b}{a}$ – 1 = $\frac{b-a}{a}$.

Оскільки з двох дробів з однаковими чисельниками менше та, у якої знаменник більший, то $\frac{b-a}{b}$ < $\frac{b-a}{a}$, тобто число $\frac{a}{b}$ знаходиться ближче до 1, ніж число $\frac{b}{a}$.