Вправи для повторення розділу 3: 54

54. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їх квадратів дорівнює 84. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.

b₁ + b₂ + b₃ = 14, b₁ + b₁q + b₁q² = 14, b₁(1 + q + q²) = 14,

$b_1^2$ + $b_2^2$ + $b_3^2$ = 84; $b_1^2$ + $b_1^2$q² + $b_1^2$q⁴ = 84; $b_1^2$ + $b_1^2$q² + $b_1^2$q⁴ = 84;

(b₁ + b₁q + b₁q²)² = 14, $b_1^2$((1 + q)² + 2(1 + q)(q² + q⁴) = 196,

$b_1^2$ + $b_1^2$q2 + $b_1^2$q4 = 84; $b_1^2$ + $b_1^2$q² + $b_1^2$q⁴ = 84.

Спростимо перше рівняння. $b_1^2$(1 + q² + 2q + 2q² + 2q³ + q⁴) = 196;

$b_1^2$(1 + q² + q⁴ + 2q(1 + q + q²)) = 196;

$b_1^2$(1 + q² + q⁴) + 2q$b_1^2$(1 + q + q²) = 196.

$b_1^2$(1 + q² + q⁴) + 2q$b_1^2$(1 + q + q²) = 196, –

$b_1^2$(1 + q² + q⁴) = 84;

2q$b_1^2$(1 + q + q²) = 112.

2q$b_1^2$(1 + q + q²) = 112. 2q$b_1^2$ • $\frac{14}{b_1}$ = 112,

1 + q + q² = $\frac{14}{b_1}$; 1 + q + q² = $\frac{14}{b_1}$.

З першого рівняння b₁q = 4, b₁ = $\frac{4}{q}$. Тоді

b₁ + 4 + b₁q² = 14, $\frac{4}{q}$ + $\frac{4}{q}$ • q² = 10, $\frac{4}{q}$ + 4q = 10,

b₁q = 4; b₁q = 4; b₁q = 4;

4q² – 10q + 4 = 0,

b₁q = $\frac{4}{q}$.

2q² – 5q + 2 = 0; D = 25 – 16 = 9 = 3²;

q = $\frac{5+3}{4}$ = 2 або q = $\frac{5+3}{4}$ = $\frac{1}{2}$.

Якщо q = 2, то b₁ = $\frac{4}{2}$ = 2. Якщо q = $\frac{1}{2}$, то b₁ = 4 : $\frac{1}{2}$ = 8.

S₈ = $\frac{2(2^8-1)}{2-1}$ = 2 • 255 = 510 або

S₈ = $\frac{8(\frac{1}{2^8-1)}}{\frac{1}{2}-1}$ = $\frac{8(\frac{1}{256}-1)}{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{8•255•2}{256•1}$ = $\frac{255}{16}$ = 15$\frac{15}{16}$.

Відповідь: 510 або 15$\frac{15}{16}$.