Вправи для повторення розділу 3: 54

54. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їх квадратів дорівнює 84. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.

b₁ + b₂ + b₃ = 14, b₁ + b₁q + b₁q² = 14, b₁(1 + q + q²) = 14,

b12 + b22 + b32 = 84; b12 + b12q² + b12q⁴ = 84; b12 + b12q² + b12q⁴ = 84;

(b₁ + b₁q + b₁q²)² = 14, b12((1 + q)² + 2(1 + q)(q² + q⁴) = 196,

b12 + b12q2 + b12q4 = 84; b12 + b12q² + b12q⁴ = 84.

Спростимо перше рівняння. b12(1 + q² + 2q + 2q² + 2q³ + q⁴) = 196;

b12(1 + q² + q⁴ + 2q(1 + q + q²)) = 196;

b12(1 + q² + q⁴) + 2qb12(1 + q + q²) = 196.

b12(1 + q² + q⁴) + 2qb12(1 + q + q²) = 196, –

b12(1 + q² + q⁴) = 84;

2qb12(1 + q + q²) = 112.

2qb12(1 + q + q²) = 112. 2qb12 • 14b1 = 112,

1 + q + q² = 14b1; 1 + q + q² = 14b1.

З першого рівняння b₁q = 4, b₁ = 4q. Тоді

b₁ + 4 + b₁q² = 14, 4q + 4q • q² = 10, 4q + 4q = 10,

b₁q = 4; b₁q = 4; b₁q = 4;

4q² – 10q + 4 = 0,

b₁q = 4q.

2q² – 5q + 2 = 0; D = 25 – 16 = 9 = 3²;

q = 5+34 = 2 або q = 5+34 = 12.

Якщо q = 2, то b₁ = 42 = 2. Якщо q = 12, то b₁ = 4 : 12 = 8.

S₈ = 2(28- 1)2-1 = 2 • 255 = 510 або

S₈ = 8(128- 1)12- 1 = 8(1256- 1)-12 = 8 •255 •2256 •1 = 25516 = 151516.

Відповідь: 510 або 151516.