Вправи для повторення розділу 3: 51

51. Доведіть, що послідовність (x_n), яку задано формулою x_n = 0,2 • 5^n–1, є геометричною прогресією. Знайдіть суму шести перших членів цієї прогресії.

x_n = 0,2 • 5^n–1 = 5^–1 • 5^n–1 = 5^n–2 = $\frac{5^n}{25}$.

x₁ = $\frac{5}{25}$ = $\frac{1}{5}$; x₂ = $\frac{5^2}{25}$ = $\frac{25}{25}$ = 1; x₃ = $\frac{5^3}{25}$ = 5; … q = 5.

Для доведення можна взяти n–й, (n + 1) – й та (n + 2) –й члени і порівняти їх відношення: $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ = $\frac{{\mathrm{0,2}•5}^{n+1-1}}{{\mathrm{0,2}•5}^{n-1}}$ = 5;

$\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$ = $\frac{{\mathrm{0,2}•5}^{n+2-1}}{{\mathrm{0,2}•5}^{n+1-1}}$ = $\frac{5^{n+1}}{5^n}$ = 5.

S₆ = $\frac{\frac{1}{5}(5^6-1)}{5-1}$ = $\frac{5^5-\frac{1}{5}}{4}$ = $\frac{3125-\frac{1}{5}}{4}$ = 3124$\frac{4}{5}$ : 4 = 781$\frac{1}{5}$.

Відповідь: 781$\frac{1}{5}$.