Вправи для повторення розділу 2: 69

69. Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного

трикутника, дорівнює 41 см², а площа трикутника – 10 см². Знайдіть катети трикутника.

Нехай х см і у см – катети прямокутного трикутника, тоді площі квадратьів, побудованих на них, відповідно дорівнюють х² см² і у² см², а площа трикутника – 12ху см². За умовою x² + y² = 41,

12xy = 10;

x² + y² = 41, x = 20y, x = 20y,

xy = 20; (20y)² + y² = 41; 400y2 + y² – 41 = 0;

x = 20y,

y⁴ – 41y² + 400 = 0 (y ≠ 0).

D = 41² – 4 • 400 = 1681 – 1600 = 81; x = 20y,

y² = 41+ 812 = 502 = 25 або y² = 41-92 = 16. y² = 25 або у² = 16.

Якщо y² = 25, то 5 (y > 0), x = 205 = 4.

Якщо у² = 16, то y = 4 (y > 0), x = 204 = 5.

Отже, катети трикутника 4 см і 5 см.

Відповідь: 4 см і 5 см.