Вправи для повторення розділу 2: 69

69. Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного

трикутника, дорівнює 41 см², а площа трикутника – 10 см². Знайдіть катети трикутника.

Нехай х см і у см – катети прямокутного трикутника, тоді площі квадратьів, побудованих на них, відповідно дорівнюють х² см² і у² см², а площа трикутника – $\frac{1}{2}$ху см². За умовою x² + y² = 41,

$\frac{1}{2}$xy = 10;

x² + y² = 41, x = $\frac{20}{y}$, x = $\frac{20}{y}$,

xy = 20; ($\frac{20}{y}$)² + y² = 41; $\frac{400}{y^2}$ + y² – 41 = 0;

x = $\frac{20}{y}$,

y⁴ – 41y² + 400 = 0 (y ≠ 0).

D = 41² – 4 • 400 = 1681 – 1600 = 81; x = $\frac{20}{y}$,

y² = $\frac{41+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{50}{2}$ = 25 або y² = $\frac{41-9}{2}$ = 16. y² = 25 або у² = 16.

Якщо y² = 25, то 5 (y > 0), x = $\frac{20}{5}$ = 4.

Якщо у² = 16, то y = 4 (y > 0), x = $\frac{20}{4}$ = 5.

Отже, катети трикутника 4 см і 5 см.

Відповідь: 4 см і 5 см.