Відповіді до завдань § 15 - § 21: 21.21

21.21. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q, де |q| < 1, дорівнює 36, а сума прогресії дорівнює 144. Знайдіть п’ятий член цієї прогресії.

(b_n); b₂ = 36; S = 144. b₅ – ?

Розв’язання

S = $\frac{b_1}{1-q}$; $\frac{b_1}{1-q}$ = 144; b₁ = $\frac{36}{q}$;

b₂ = b1 • q; b₁ • q = 36; $\frac{36}{q(1-q)}$ = 144.

$\frac{36}{q(1-q)}$ – 144^\q(1–q) = 0;

$\frac{36-144q(1-q)}{q(1-q)}$ = 0; q $\ne$ 0; q $\ne$ 1.

36 – 144q + 144q² = 0 |: 36;

4q² – 4q + 1 = 0;

(2q – 1)² = 0;

2q – 1 = 0;

2q = 1; q = $\frac{1}{2}$;

q = $\frac{1}{2}$;

b₁ = $\frac{36}{\frac{1}{2}}$ = 72.

b₅ = b_{1 •} q⁴ = 72 • ($\frac{1}{2}$)⁴ = 72 • $\frac{1}{16}$ = 4,5.

Відповідь: 4,5.