Відповіді до завдань § 15 - § 21: 21.20

21.20. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q, де |q| < 1, дорівнює 24, а сума прогресії дорівнює

108. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

(b_n); b₂ = 24; S = 108. b₄ – ?

Розв’язання

S = $\frac{b_1}{1-q}$; $\frac{b_1}{1-q}$ = 108; b₁ = $\frac{24}{q}$;

b₂ = b₁ • q; b₁ • q = 24; $\frac{24}{q(1-q)}$ = 108.

$\frac{24}{q(1-q)}$ – 108^\q(1–q) = 0;

$\frac{24-108q(1-q)}{q(1-q)}$ = 0; q $\ne$ 0; q $\ne$ 1.

24 – 108q + 108q² = 0|: 12;

9q² – 9q + 2 = 0;

D = (–9)² – 4 • 9 • 2 = 81 – 72 = 9.

q₁ = $\frac{9-\sqrt{9}}{2•9}$ = $\frac{9-3}{18}$ = $\frac{6}{18}$ = $\frac{1}{3}$; q₂ = $\frac{9+3}{18}$ = $\frac{12}{18}$ = $\frac{2}{3}$.

1) q = $\frac{1}{3}$; q = $\frac{1}{3}$;

b₁ = $\frac{24}{\frac{1}{3}}$; b₁ = 72.

b₄ = b₁ • q³ = 72 • ($\frac{1}{3}$)³ = 72 • $\frac{1}{27}$ = $\frac{8}{3}$ = 2$\frac{2}{3}$.

2) q = $\frac{2}{3}$; q = $\frac{2}{3}$;

b₁ = $\frac{24}{\frac{2}{3}}$; b₁ = 36.

b₄ = b₁ • q³ = 36 • ($\frac{2}{3}$)^{3 =} 36 • $\frac{8}{27}$ = $\frac{32}{3}$ = 10$\frac{2}{3}$.

Відповідь: 2$\frac{2}{3}$ або 10$\frac{2}{3}$.