Відповіді до завдань § 15 - § 21: 21.20

21.20. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q, де |q| < 1, дорівнює 24, а сума прогресії дорівнює

108. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

(b_n); b₂ = 24; S = 108. b₄ – ?

Розв’язання

S = b11 - q; b11 - q = 108; b₁ = 24q;

b₂ = b₁ • q; b₁ • q = 24; 24q(1 - q) = 108.

24q(1 - q) – 108^\q(1–q) = 0;

24 - 108q(1 - q)q(1 - q) = 0; q ≠ 0; q ≠ 1.

24 – 108q + 108q² = 0|: 12;

9q² – 9q + 2 = 0;

D = (–9)² – 4 • 9 • 2 = 81 – 72 = 9.

q₁ = 9 - 92 • 9 = 9 - 318 = 618 = 13; q₂ = 9 + 318 = 1218 = 23.

1) q = 13; q = 13;

b₁ = 2413; b₁ = 72.

b₄ = b₁ • q³ = 72 • (13)³ = 72 • 127 = 83 = 223.

2) q = 23; q = 23;

b₁ = 2423; b₁ = 36.

b₄ = b₁ • q³ = 36 • (23)^{3 =} 36 • 827 = 323 = 1023.

Відповідь: 223 або 1023.