Відповіді до завдань § 15 - § 21: 20.15

20.15. Послідовність (b_n) – геометрична прогресія. Знайдіть:

1) S₈, якщо b₃ = $\frac{1}{4}$, b₄ = $\frac{1}{8}$; 2) S₅, якщо b₁ = 5, b₃ = 45, q > 0;

3) S₄, якщо b₂ = 8, b₄ = 2, q < 0; 4) S₇, якщо b₁ = 5, b₄ = 40.

1) q = b₄ : b₃ = $\frac{1}{8}$ : $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$; b₃ = b₁ • q²; b₁ = b₃ : q² = $\frac{1}{4}$ : ($\frac{1}{2}$)² = 1.

S₈ = $\frac{1(\frac{1}{2^8}-1)}{\frac{1}{2}-1}$ = $\frac{\frac{1}{256}-1}{-\mathrm{0,5}}$ = $\frac{255•2}{256}$ = $\frac{255}{128}$ = 1$\frac{127}{128}$;

2) b₃ = b₁ • q²; q² = b₃ : b₁ = 45 : 5 = 9; q = 3 (q > 0).

S₅ = $\frac{5(3^5-1)}{3-1}$ = $\frac{5•(243-1)}{2}$ = 605;

3) $b_3^2$ = b₂ • b₄ = 8 • 2; $b_3^2$ = 16; b₃ = –4(q < 0).

q = –4 : 8 = –$\frac{1}{2}$. b₁ = b₂ : q = 8 : (–$\frac{1}{2}$) = –16.

S₄ = $\frac{-16•\left(\right(-\frac{1}{2}{)}^4-1)}{-\frac{1}{2}-1}$ = $\frac{-16•(\frac{1}{16}-1)}{-\mathrm{1,5}}$ = $\frac{-1+16}{-\mathrm{1,5}}$ = –10.

4) b₄ = b₁ • q³; q³ = 40 : 5 = 8; q = 2.

S₇ = $\frac{5(2^7-1)}{2-1}$ = $\frac{5(128-1)}{1}$ = 635.

Відповідь: 1) 1$\frac{127}{128}$; 2) 605; 3) –10; 4) 635.