Відповіді до завдань § 12 - § 14: 14.23

14.23. Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожний кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 год повільніше, ніж шоста частина басейну через другий?

Нехай перший кран може заповнити басейн за x год, другий – за y год. Тоді за 1 год перший кран заповнює $\frac{1}{х}$ частину, а другий – $\frac{1}{у}$частину басейну. Працюючи разом, два крани наповнять $\frac{1}{2}$ басейна: $\frac{1}{х}$ + $\frac{1}{у}$ = $\frac{1}{2}$. Перший кран наповнить $\frac{1}{3}$ басейну за $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{х}$ =

= $\frac{х}{3}$ год, другий кран заповнить $\frac{1}{6}$ басейну за $\frac{1}{6}$ : $\frac{1}{у}$ = $\frac{у}{6}$ год. За умовою $\frac{х}{у}$ – $\frac{у}{6}$ = 1,5. Розв'яжемо систему рівнянь:

$\frac{1}{х}$ + $\frac{1}{у}$ = $\frac{1}{2}$, $\frac{х+у}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{1}{2}$, 2x + 2y – ху = 0,

$\frac{х}{3}$ – $\frac{у}{6}$ = 1,5; 2x – y = 9; y = 2x – 9;

2x + 2(2x – 9) – x(2x – 9) = 0, 2x + 4x – 18 – 2x² + 9x = 0,

y = 2x – 9; y = 2x – 9;

2x² – 15x + 18 = 0, D = 225 – 144 = 81;

y = 2x – 9. x₁ = $\frac{15+9}{4}$ = 6; x₂ = $\frac{15-9}{4}$ = 1,5;

x = 6 або x = 1,5, x = 6, або x = 1,5

y = 2x – 9; y = 2 • 6 – 9 y = 2 • 1,5 – 9;

x = 6, або x = 1,5,

y = 3 y = –6 – не задовольняє умову y > 0.

Відповідь: 6 год і 3 год.