Задачі підвищеної складності з геометрії: 35

35. Усередині прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) узято точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і CMA рівні між собою. Доведіть, що MA² + MB² = 5MC².

1) Позначимо AC = b; BC = a; LM ⊥ AC; MK ⊥ BC.2) S∆AMC = 13 S∆ABC; 12b • LM = 13 • 12ab, тому LM = a3; CK = LM = b3.4) Тоді AL = AC – CL = b – b3 = 2b3; аналогічно KB = 2a3.

5) CM² = CK² + KM² = (a3)² + (b3)² = a2+ b29 = 19(a² + b²).

6) AM² = AL² + LM² = (2b3)² + (a3)² = 19(4b² + a²).

7) MB² = MK² + KB² = (b3)² + (2a3)² = 19(b² + 4a²).

8) Тоді 5МС² = 59(a² + b²) i AM² + MB² = 19(4b² + a² + b² + 4a²) = 19(5a² + 5b²) = 59(a² + b²).

Отже, АМ² + МВ² = 5МС², що й треба було довести.