Задачі підвищеної складності з геометрії
Задачі підвищеної складності з геометрії: 34
Готова відповідь до завдання 34 з ГДЗ Математика 8 клас Істер 2 ч..
Математика, 8 клас · Задачі підвищеної складності з геометрії
Текстова відповідь
34. Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні
довжинам цих сторін.
| 1) Нехай M — довільна точка діагоналі AC паралелограма ABCD; MN ⊥ AD.2) Нехай CK— висота паралелограма.Тоді S∆AMDS∆ACD = MNCK (оскільки трикутники AMD i ACD мають однакові основи). |
3) Проте ∆AMN ~∆ACK (за двома кутами), тому MNCK = AMAC. Отже,
S∆AMD = AMAC • S∆ACD.
4) Аналогічно можна довести, що S∆AMB = AMAC • S∆ABC.
5) ∆ACD = ∆CAB, тому S∆ACD = S∆ABC.
6) Маємо S∆AMB = S∆AMD, тому 12АВ • ML = 12AD • MN.
MNML = ABAD = 1AD1AB. Доведено.