Задачі підвищеної складності з геометрії: 31

31. Обчисліть: 1) sin 15°; 2) sin 75°.

1) Розглянемо ∆ABD, у якого ∠D = 90°; ∠A = ∠B = 45° і ∆BCD, у якого ∠D = 90°; ∠DBC = 30° (див. рисунок).2) Тоді ∠ABC = 75°.3) Позначимо AD = BD = 1, тодіАВ = AD2+BD2 = 12+ 12 = 2.4) У ∆BDC: tg∠DBC = DCBD; DC = 13.Тоді ВС = BD2+DC2 = 1+ 13 = 43 = 23.

5) Проведемо висоту АК трикутника АВС.

6) S_∆ABC = 12AC • BD = 12BC • AK; (1 + 13) • 1 = 23 • AK;

3 + 1 = 2 • AK; AK = 3 + 12.

7) У ∆АКВ: ∠КАВ = 90° – 75° = 15°;

КВ = АВ2- АК2 = (2)2- (3+ 12)2 = 2- 3+23+14 = 8-3-23- 14 = 4-234 = (3)2- 23+ 124 = (3- 1)22 = 3- 12.

8) У ∆АВК: sin∠KAB = KBAB; sin15° = 3- 122 = 2(3- 1)2 • 2 = 6- 24.

9) sin∠ABK = sin75° = AKAB = 3+ 122 = 6+ 24.

Відповідь: 1) sin15° = 6- 24; 2) sin 75° = 6+ 24.