Задачі підвищеної складності з геометрії: 29

29. Нехай а і b – катети прямокутного трикутника, c – його

гіпотенуза, h – висота, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник зі сторонами h, c + h і а + b – прямокутний.

1) Площа трикутника S = 12ab = 12ch, звідки ab = ch.2) Розглянемо різницю (а + b)2 + h2 – (c + h)2 = a2 + 2ab + b2 + h2 – c2 – 2ch – h2; врахуємо, що а2 + b2 = c2 і ab = сh. Тоді (а + b)2 + h2 – (с + h)2 = 2ch – 2ch = 0.3) Отже, (а + b)2 + h2 = (с + h)2. Це означає, що трикутник зі сторонами a + b, h i c + h — прямокутний

із гіпотенузою с + h, що й треба було довести.