Задачі підвищеної складності з геометрії: 26

26. Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їх спільна зовнішня дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл.

1) Нехай центри кіл — точки O1 і O2, а їхні радіуси r1 і r2 (r2 > r1); O1M ⊥ MN; O2N ⊥ MN.2) O1O2 = r1 + r2.3) Проведемо O1K ∥ MN. Тоді O1MNK — прямокутник.

4) KO₂ = NO₂ – NK = r₂ – r₁; O₁K = MN = O1O22- KO22 = (r1+ r2)2-(r1- r2)2 = 4r1r2 = 2r1 •2r2 = d1d2, де

d₁ i d₂ – діаметри кіл. Доведено.