Задачі підвищеної складності з геометрії: 25

25. Точка M лежить усередині кута, який дорівнює 60°. Відстані від точки M до сторін куса дорівнюють а і b. Знайдіть відстань від точки M до вершини кута.

1) Нехай AM перетинає OB у точці С.2) ∠ACO = 90° – 60° = 30°.3) У ∆MBC за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо MC = 2b; AC = а + 2b.

4) У ∆OAC: tg∠ACO = OAAC; tg30° = OAa+2b; OA = a+2b3.

5) У ∆ОАМ: ОМ= ОА2+ АМ2 = (a+2b3)2+ a2 = 4(a2+ ab+ b2)3 = 2a2+ ab+ b23.

Відповідь: 2a2+ ab+ b23.