Задачі підвищеної складності з геометрії: 28

28. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо центр вписаного кола знаходиться на відстані m2 від вершини прямого кута.

1) О — центр вписаного кола; CO = m2. М, К, L — точки дотику.2) Оскільки MOLC — квадрат, сторона якого дорівнює r, то r2 + r2 = (m2)2; 2r2 = 2m2; r = m.

3) АК : KВ = 2 : 3. Позначимо AK = 2х, KB = Зх. Тоді AB = 5х.

4) За властивістю відрізків дотичних AM = AK = 2х; BL = BK = Зх. Тоді AC = m + 2х; BC = m + Зх.

5) AB² = AC² + CD²; (5х)² = (m + 2х)² + (m + Зх)²; 25х² = 9x² + 6хm + m² + 4x² + 4хm + m²; 6х² – 5mх – m² = 0; D = (–5m)² – 4 • 6 • (–m²) = 49m² = (7m)².

x₁ = 5m+7m2 • 6 = 12m2 • 6 = m; x₂ = 5m-7m2 • 6 < 0 – не задовольняє умову.

6) AC = m + 2m = 3m; BC = m + 3m = 4m; AB = 5m.

7) P = 3m + 4m + 5m = 12m.

Відповідь: 12m.