Задачі підвищеної складності з геометрії: 32

32. Чи існує многокутник, у якого: 1) 20 діагоналей; 2) 21 діагональ?

Припустимо, що існує n–кутник, що відповідає умові. Відома формула

для кількості діагоналей n(n-3)2.

1) Маємо n(n-3)2 = 20; n² – Зn – 40 = 0; n₁ = 8; n₂ = –5 — не задовольняє умову.

2) n(n-3)2 = 21; n² – 3n – 42 = 0; D = 9 + 4 • 42 = 177. Рівняння не має коренів, які є натуральними числами. Такого многокутника не існує.

Відповідь: 1) Так; 2) ні.