Задачі підвищеної складності з геометрії: 17

17. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH₁, BH₂ і CH₃. H – точка їх перетину. Серед семи точок A, B, C, H₁, H₂, H₃ і H укажіть усі такі їх четвірки, через які можна провести коло.

1) Розглянемо чотирикутник AH3HH2.Оскільки ∠AH3H = 90° і ∠AH2H = 90°, то∠AH3H + ∠AH2H = 180°, і навколо чотирикутника AH3HH2 можна описати коло.2) Аналогічно навколо чотирикутниківBH1HH3 і CH2HH1 можна описати коло.3) Опишемо коло навколо чотирикутника

CH₂HH₁. Тоді ∠HH₂H = ∠HCH₁ = α (як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу).

4) У ∆ВСН₃: ∠Н₃ВС = 90° – α.

5) ∠AH₂H₁ = 90° + а.

6) ∠ABC + ∠AH₂H₁ = 90° – α + 90° + α = 180°, отже, навколо ABH₁H₂ можна описати коло.

7) Аналогічно можна описати коло навколо чотирикутників ACH₁H₃

і BCH₂H₃.

Відповідь: A, H₃, Н, H₂, В, H₁, Н, H₃, С, Н₂, H, Н₁; А, В, H₁, H₂; А, С, Н₁, H₃, В, С, H₂, H₃.