Задачі підвищеної складності з геометрії: 15

15. Основи трапеції дорівнюють а і b (a > b), а сума кутів,

прилеглих до більшої основи, дорівнює 90°. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.

1) За умовою ∠A + ∠B = 90°.2) Нехай M i N — середини основ AD і BC трапеції ABCD; AD = a; BC = b; а > b.3) Проведемо через точку M прямі, паралельні AB і CD. Нехай K i L точки їх перетину з основою AD.4) Тому ∠KML = 90°. Крім того NK = AN – AK =

= AN – BM = DN – CM = DN – DC = NL.

5) Тому MN – медіана прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи. Тому MN = 12KL. KL = AD – AK – LD = a – 12b – 12b = a – b.

6) Отже, MN = a-b2.

Відповідь: a-b2.