Контрольні роботи ВАРІАНТ 1: Кр.6 (6.1)

6. Бісектриса гострого кута А паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки 10 см і 4 см, рахуючи від вершини В. Ця бісектриса

ділить висоту BH, проведену до сторони AD, у відношенні 5 : 3, рахуючи від вершини В . Знайдіть площу паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм; АК – бісектриса $\angle$А;

ВК = 10 см; КС = 4 см; BH $\perp$ AD; O т. перетину AK i BH;

BO : OH = 5 : 3.

Знайти: S_ABCD

Розв’язання

1. ВС = ВК + КС = 10 + 4 = 14 см;

AD = BC = 14 см.

2. Знаходимо бічну сторону АВ:

$\angle$BAK = $\angle$KAD (оскільки АК бісектриса);

$\angle$BKA = $\angle$KAD (як внутрішні різносторонні кути при ВС $\parallel$ AD).

Тому $\angle$BAK = $\angle$BKA, тому $∆$АВК – р.б. з АВ = ВК = 10 см.

3. Знаходимо відрізок АН:

$∆$АВН ($\angle$АНВ = 90$°$), де АО – бісектриса $\angle$А;

За властивістю бісектриси $∆$

$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OH}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AH}}$ $\Rightarrow$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{\mathrm{AH}}$ $\Rightarrow$ AH = $\frac{10•3}{5}$ = 6 см.

4. Знаходимо висоту ВН:

з $∆$АВН ($\angle$Н = 90$°$) за т. Піфагора;

ВН = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AH}}^2}$ = $\sqrt{{10}^2-6^2}$ = $\sqrt{100-36}$ = 8 см.

5. Обчислимо S_ABCD

S_ABCD = AD • BH = 14 • 8 = 112 см².

Відповідь: S_ABCD = 112 см².