Вправи: 590

590. Доведи, що в подібних трикутниках відповідні висоти (бісектриси, медіани) пропорційні відповідним сторонам.

а) Нехай ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁.

ABA1B1 = k. BK ⊥ AC; B₁K₁ ⊥ A₁C₁.

∆ABK ~ ∆A₁B₁K₁.

Отже BKB1K1 = ABA1B1 = k.

У подібних трикутниках відповідні висоти пропорційні відповідним cторонам.

б)

BM і B₁M₁ — меридіани трикутників.

AM = MC; A₁M₁ = M₁C₁.

∆ABM ~ ∆A₁B₁M₁.

ABA1B1 = AMA1M1 = k; ∠A = ∠A₁.

З їх подібності маємо: ABA1B1 = BMB1M1 = k. У подібних трикутниках відповідні медіани пропорційні відповідним сторонам.

в)

BP і B₁P₁ — бісектриси трикутників.

∆ABP ~ ∆A₁B₁P₁ (за двома кутами)

ABA1B1 = k; ∠A = ∠A₁; ∠ABP = ∠A₁B₁P₁.

З подібності трикутників маємо: ABA1B1 = BPB1P1 = k.

У подібних трикутниках відповідні бісектриси пропорційні відповідним сторонам.