Вправи: 447

447. Доведи, що коли три кути описаного чотирикутника рівні, то він — дельтоїд.

Нехай ∠A = ∠B = ∠C, O — центр кола вписаного в чотирикутник ABCD; точки М, N, Р, Q — точки дотику, тоді OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CD, OQ ⊥ AD.

AO і CO — бісектриси кутів A i С.

Доведемо, що відрізки AO і CO лежать на діагоналі AC.

∠AOC = 12∠MOQ + ∠MON + 12∠NOP = 12(180° – ∠A) + (180° – ∠B) + 12 (180° – ∠C) = 90° – 12∠A + 180° – ∠B + 90° – 12∠C = 360° – (12∠A + 12∠C + ∠B) = 360° – 180° = 180°. ∆NOC = ∆QOA за катетом і прилеглим кутом, тоді NC = AQ. Тоді AB = AM + MB = AQ + BN = NC + BN = BC, AD = AQ + QD = AQ + DP = NC + DP = CP + DB = CD.

Оскільки AB = BC, AD = CD, то ABCD — дельтоїд.