Вправи: 1375

1375. Основи трапеції дорівнюють 3 і 5, а бічні сторони 2 і 22. Знайди кути трапеції.

Дано: ABCD – трапеція; BC = 3; AD = 5;

AB = 2; CD = 22.

Знайти: кути трапеції.

Розв'язання

Проведемо висоти BK і CM.

ABCM – прямокутник, тоді KM = BC = 3.

Нехай АК = х, тоді MD = AD – KM – AK = 5 – 3 – x = 2 – x.

∆АКВ (∠K = 90°): ВК² = AB² – АК² = 2² – x² = 4 – x².

∆DMC (∠М = 90°):

CM² = CD² – MD² = (22)² – (2 – x)² = 8 – (4 – 4x + x²) = 4 + 4x – x².

BK = CM, тоді 4 – x² = 4 + 4x – x²;

4x = 0; x = 0; AK = 0.

Отже, точка К збігається з точкою A.

AB є висотою трапеції, тоді ∠A = ∠B = 90°.

MD = 2 – x = 2 – 0 = 2.

Висота AB = 2, тоді СМ = 2.

Отже, ∆DMC (∠M = 90°) – рівнобедрений;

∠D = 45°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 45° = 135°.

Відповідь: 90°; 90°; 135°; 45°.