Вправи: 1376

1376. На діаметрі АВ кола, паралельного його хорді СD, взято до­

вільну точку М. Доведи, що МС² + МD² = МА² + МВ².

Дано: коло; АВ – діаметр;

CD – хорда; АВ ∥ CD.

Довести: MC² + MD² = MA² + MB².

Доведення

Проведемо ОК ⊥ CD.

Оскільки ОК – перпендикуляр до CD, то

CK = KD. Проведемо MH ⊥ CD.

MHKO – прямокутник, тоді MH = OK, KH = OM.

2) Обчислимо MC² + MD².

∆MHC (∠H = 90°): МС² = MH² + CH².

∆MHD (∠H = 90°): MD² = MH² + HD².

Нехай СК = KD = а, KH = x, тоді СH = CK + KH = а + х;

HD = KD – KH = a – x.

МС² + MD² = MH² + (a + x)² + MH² + (а – x)²;

MC² + MD² = 2MH² + (а² + 2ax + x²) + (а² – 2ax + x²);

МС² + MD² = 2MH² + 2a² + 2x² = 2(MH² + x²) + 2a².

∆ОКС (∠K = 90°): ОК² + CK² = ОС². ОК = MH; KH = OM = x.

МH² + а² = R² і MH² + x² = OK² + OM².

МС² + MD² = 2(MH² + а²) + 2x² = 2R² + 20M².

3) Обчислимо AM² + MB².

Нехай OA = OB = R.

МА = R + OM; MB = R – OM.

МА² + MB² = (R + OM)² + (R – OM)² = R² + 2R • OM + OM² + (R² – 2R • OM + OM²) = 2R² + 2OM².

МС² + md² = 2R² + 2OM²; МА² + МВ² = 2R² + 2OM².

Тоді МС² + MD² = MA² + MB².