Вправи: 1373

1373. Висоти АА₁ і ВВ₁ трикутника АВС перетинаються в точці Н. Доведи, що А₁Н • А₁А = ВА₁ • СА₁ і В₁Н • В₁В = СВ₁ • АВ₁.

Дано: ∆ABC; АА₁, ВВ₁ – висоти;

АА₁ X ВB₁ = H.

Довести: А₁H • A₁A = BA₁ • CA₁;

B₁H • B₁B = CB₁ • AB₁.

Доведення

1) В ∆BA₁H (∠А₁ = 90°) і ∆AA₁C (∠A₁ = 90°).

∠HBA₁ = 90° – ∠С; ∠CAА₁ = 90° – ∠C.

Отже, ∆BA₁H ~ ∆АА₁C (за двома кутами).

Із подібності трикутників: A1HCA1 = BA1AA1; А₁H • АА₁ = BA₁ • CA₁.

2) В ∆АHB₁ (∠H = 90°) і ∆BCB₁ (∠C = 90°):

∠HAB₁ = 90° – ∠C; ∠CBB₁ = 90° – ∠C.

Отже, ∆AHB₁ ~ ∆BCB₁ (за двома кутами).

Із подібності трикутників: B1HCB1 = AB1BB1; B₁H • BB₁ = CB₁ • AB₁.