Вправи
Вправи: 1371
Готова відповідь до завдання 1371 з ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
1371. Задача Ейлера. Доведи, що в кожному чотирикутнику сума
квадратів сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей і чотирьох квадратів відрізка, який сполучає середини діагоналей.
Дано: ABCD – чотирикутник; Е – середина АС;
F – середина BD.
Довести:
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF².
Доведення
∆АВС: за теоремою про медіану
AB² + BC² = 2BE² + AC22.
∆ADC: за теоремою про медіану.
CD² + DA² = 2DE² + AC22.
Додамо ці рівняння:
AB² + BC² + CD2 + DA² = 2BE² + 2DE² + АС2;
AB² + BC² + CD2 + DA² = 2(BE² + DE²) + АС2.
∆BED: за теоремою про медіану.
BE² + DE² = 2EF² + BD22.
AB² + BC² + CD² + DA² + 2(2ЕF² + BD22) + AC².
AB² + BC² + CD² + DA² = 4ЕF² + BD² + AC².
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF².