Вправи: 1365

1365. Задача Евкліда про золотий поділ. Даний відрізок АВ точкою Р

поділи так, щоб виконувалась умова АР : РВ = РВ : АВ.

Нехай АВ = a, PB = x, AP = a – x.

APPB = PBAB; a- xx = xa.

x² = a(a – x); x² + ax – a² = 0;

D = a² – 4 • 1 • (–a²) = a² + 4a² = 5a².

x₁ = -a- 5a22 = -a- a52 = -a(1+ 5)2 – не задовольняє умову.

x₂ = -a+ 5a22 = -a+ a52 = a(5 -1)2. PB = a(5 -1)2.

Щоб побудувати відрізок довжиною a(5 -1)2, нам потрібний прямокутний трикутник із катетами а і a2, тоді гіпотеза дорівнює:

a2+ (a2 )2 = 5a24 = a52.

Побудова

1. Із точки В проведемо перпендикуляр до прямої АВ.

2. Знайдемо середину відрізка АВ. МВ = а2.

3. На перпендикулярі від т.В відкладемо відрізок ВС; ВС = а2.

4. З'єднаємо точки А і С; АС = a52.

5. Коло K₁(X; CB) X AC = L; AL = AC – CK = a52 – а2 = a(5 -1)2.

6. Коло К₂ (A; AK) X AB = P.