Вправи: 1362

1362. Задача Діофанта. Знайди сторони прямокутного трикутника,

якщо вони дорівнюють х³, х³ – х і х³ + х, де х — якесь число.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

АС = х³; ВС = х³ – х; АВ = х³ + х.

Знайти: АС, ВС, АВ.

Розв’язання

За теоремою Піфагора: АВ² = АС² + ВС².

(x³ + x)² = (x³)² + (x³ – x)²;

(x(x² + 1))² = x⁶ + (x(x² – 1))²;

x²(x4 + 2x² + 1) = x⁶ + x²(x⁴ – 2x² + 1);

x⁶ + 2x⁴ + x² = x⁶ + x⁶ – 2x⁴ + x²;

x⁶ – 4x⁴ = 0;

x⁴(x² – 4) = 0;

x⁴ = 0; x = 0 – не задов. умові.

x² – 4 = 0; х² = 4; х = 2.

АС = 23 = 8; ВС = 23 – 2 = 6; АВ = 23 + 2 = 6.

Відповідь: 6; 8; 10.