Вправи: 1363

1363. Задача Архімеда. Якщо хорди АВ і СD кола перетинаються

в точці під прямим кутом, то сума квадратів відрізків АР, ВР, СР і DР дорівнює квадрату діаметра кола. Доведи.

Дано: коло; AB X CD = P; AB ⊥ CD.

Довести: AP² + BP² + CP² + DP² = d².

Доведення

Із точки А проведемо діаметр AL = d. За властивістю вписаного кута, що спирається на діаметр ∠LBA = 90°.

∆ABL (∠B = 90°): AB² + BL² = AL².

∆APC (∠P = 90°): AP² + CP² = AC².

∆BPD (∠P = 90°): BP² + DP² = BD².

AP² + CP² + BP² + DP² = AC² + BD².

Доведемо, що AC² + BD² = d².

∠ACL = 90°.

∠ADC = ∠ALC – спираються на ∪АС.

В ∆APD і ∆ALC: ∠APD = ∠ACL = 90°.

∠PDA = ∠LCA – спираються на ∪АС.

Отже, ∠PAD = ∠LAC.

Оскільки ∠BAD = ∠LAC, то ∪BD = ∪CL.

Отже, BD = CL.

∆ACL (∠C = 90°): AC² + CL² = AL² = d².

AC² + BD² = d²;

AC² = AP² + CP², BD² = BP² + DP² ⇒ AP² + CP² + BP² + DP² = d².

Отже, AP² + BP² + CP² + DP² = d².