Вправи: 1331

1331. На діагоналі АС ромба АБСБ взято довільну точку Р. Доведи, що АР • РС=АВ² – РВ².

Дано: ABCD – ромб; Р ∈ АС.

Довести: АР • РС = АВ² – РВ².

Доведення

AC ⊥ BD, тоді ∆АОВ і ∆РОВ – прямокутні.

∆АОВ (∠О = 90°): АВ² = АО² + ОВ²;

∆РОВ (∠О = 90°): РВ² = РО² + ОВ²;

AB² – PB² = (AO² + OB²) – (PO² + OB²) = AO² + OB² – PO² – OB² = AO² – PO² = (AO – PO) • (AO + PO) = AP • (OC + OP) = AP • PC.

Отже, AP • PC = AB² – PB².