Вправи: 1333

1333. АВСD і АВК — квадрат і рівносторонній трикутник. Прямі КС і

BD перетинаються в точці Р. Доведи, що КР = РD. Розглянь два

випадки.

1) Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній ∆АВК розміщенний зовні квадрата; KC X BD = P.

Довести: KP = PD.

Розв'язання

∆КВС – рівнобедрений (за побудовою)

∠КВС = ∠АВК + ∠АВС = 60° + 90° = 150°

∠BKC = ∠BCK = (180° – ∠KBC) : 2 = (180° – 150°) : 2 = 15°.

∠ADK = ∠BCK = 15°; ∠AKD = ∠CKD = 15°.

∆KPD:

∠KDB = 90° – (∠ADK + ∠BDC) = 90° – (15° + 45°) = 30°.

∠DKP = 60° – (∠AKD + ∠CKB) = 60° – (15° + 15°) = 30°.

Отже, ∆KPD – рівнобедрений.

Тоді KP = PD.

2) Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній ∆АВК розміщенний всередині квадрата;

KC X BD = P.

Довести: KP = PD.

Доведення

∆КВС – рівнобедрений (за побудовою).

∠KBC = ∠ABC – ∠ABK = 90° – 60° = 30°.

∠BKC = ∠BCK = (180° – ∠KBC) : 2 = (180° – 30°) : 2 = 75°.

∠ADK = ∠BCK = 75°.

∆DKC:

∠KDC = ∠KCD = 90° – 75° = 15°.

∠DKC = 180° – (15° + 15°) = 150°.

∆DPK:

∠PKD = 180° – ∠DKC = 180° – 150° = 30°.

∠PDK = ∠ADK – ∠ADP = 75° – 45° = 30°.

Отже, ∆DPK – рівнобедрений.

Тоді KP = PD.