Вправи: 1329

1329. Доведи, що сума діагоналей опуклого чотирикутника менша від його периметра, але більша за півпериметр.

Дано: ABCD – чотирикутник; AC X BD = 0.

Довести: Р2 < AC + BD < p.

Доведення

P = AB + BC + CD + DA.

За нерівністю трикутника:

1) ∆ABC: AC < AB + BC;

∆ADC: AC < AD + CD;

2AC < AB + BC + AD + CD;

∆BCD: BD < BC + CD;

∆ABD: BD < AB + AD;

2BD < BC + CD + AB + AD;

2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD | : 2;

AC + BD < AB + BC + CD + AD;

AC + BD < P;

2) ∆AOB: OA + OB > AB;

∆BOC: OB + OC > BC;

∆COD: OC + OD > CD;

∆DOA: OD + OA > AD.

OA + OB + OB + OC + OC + OD + OD + OA > AB + BC + CD + AD;

2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + BC + CD + AD.

2AC + 2BD > P | : 2;

AC + BD > P2.

Отже, P2 < AC + BD < P.