Вправи: 1280

1280. Центр кола лежить на гіпотенузі прямокутного трикутника.

Коло проходить через вершину більшого гострого кута і дотикається до більшого катета. Знайди радіус кола, якщо катети дорівнюють 12 см і 16 см.

Дано: ∆АВС; коло з центром О; O ∈ AB;

AC = 12 см; ВС = 16 см; D – точка дотику.

Знайти: радіус r.

Розв’язання

OD = OA = r.

∆ABC (∠C = 90°):

AB² = AC² + BC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400; AB = 20 см.

OD ⊥ BC, AC ⊥ BC, тоді OD ∥ AC.

∆BDO ~ ∆BCA (за двома кутами):

ODAC = BOBA; BO = BA – OA = 20 – r.

r12 = 20-r20;

20r = 12(20 – r);

20r = 240 – 12r;

20r + 12r = 240;

32r = 240;

r = 7,5 (см).

Відповідь: 7,5 см.