Вправи: 1279

1279. Знайди бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см.

Дано: ∆ABC (∠C = 90°);

AC = 8 см; BC = 8 см.

Знайти: бісектриси AK, BH.

Розв'язання

∆ABC (∠C = 90°) – єгипетський з

коефіцієнтом 2, тоді AB = 2 • 5 = 10 см.

За властивістю бісектриси:

CKKB = ACAB = 810 = 45.

Нехай CK = 4x, тоді KB = 5x.

BC = CK + KB;

4x + 5x = 6;

9x = 6; x = 69 = 23;

СК = 4 • 23 = 83 (см); КВ = 5 • 23 = 103 (см).

∆AСК (∠C = 90°): AK² = AC² + CK² = 8² + (83)² = 64 + 649 = 6409;

AK = 6409 = 8103 (см).

За властивістю бісектриси:

АММС = АВВС = 106 = 53.

Нехай AM = 5x см, тоді MC = 3х см.

AC = AM + MC;

5x + 3x = 8;

8x = 8; x = 1. MC = 3 • 1 = 3 (см).

∆МСВ (∠C = 90°): BM² = MC² + BC² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45;

BM = 45 = 35 (см).

Відповідь: 8103 см; 35 см.