Вправи: 1260

1260. Паралелограм, сторони якого пропорційні числам 2 і 3, вписано в ∆АВС так, що кут А у них спільний. Знайди периметр паралелограма, якщо АВ = 8 см, АС = 12 см.

Дано: паралелограм ADEF, вписаний в

∆АВС; AD : AF = 2 : 3;

AB = 8 см; АС = 12 см.

Знайти: P_ADEF.

Розв’язання

І. Нехай AD = 2x см, AF = 3x см.

DE ∥ AC, тоді ∆BDE ~ ∆BAC (за двома кутами).

DEAC = BDAB; BD = AB – AD = 8 – 2x (см);

13х12 = 8-2х8;

х4 = 8-2х8 | • 8;

2x = 8 – 2x;

4x = 8;

x = 2. AD = 2x = 2 • 2 = 4 (см).

AF = 3x = 3 • 2 = 6 (см).

P_ADEF = 2(AD + AF) = 2 • (4 + 6) = 20 (см .

ІІ. Нехай AD = 3x см, AF = 2x см.

DEAC = BDAB; BD = AB – AD = 8 – 3x (см);

2х12 = 8-3х8;

х6 = 8-3х8 | • 24;

4х = 3(8 – 3х);

4x = 24 – 9x;

4x + 9x = 24;

13x = 24;

x ≈ 1,84. AD = 3 • 1,84 = 5,52 (см).

AF = 2 • 1,84 = 3,68 (см).

P_ADEF = 2(AD + AF) = 2 • (5,52 + 3,68) = 18,4 (см).

Відповідь: 20 см або 18,4 см.