Вправи: 1258

1258. Точка М ділить сторону АD паралелограма АВСD на відрізки

DМ = 8 см і АМ = 12 см. К — точка перетину прямих ВМ і СD.

Доведи: а) ∆АВМ ~ ∆DKМ; б) ∆АВМ ~ ∆СКВ; в) ∆МKD ~ ∆ВКС.

Знайди периметр ∆АВМ і ∆ВКС, якщо периметр ∆МКD дорівнює р.

Дано: паралелограм ABCD; DM = 8 см;

АМ = 12 см; BM X CD = k; P∆MKD = p.

Довести: а) ∆ABM ~ ∆DKM; б) ∆ABM ~ ∆BKC; в) ∆MKD ~ ∆BKC.

Знайти: P_∆ABM; P_∆BKC.

Доведення

а) В ∆АВМ і ∆DKM:

1) ∠AMB = ∠DMK – як вертикальні;

2) ∠ВАМ = ∠KDM – як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AD. Тому ∆АВМ ~ ∆DKM – за двома кутами.

б) В ∆АВМ і ∆ВKС:

1) ∠ВАМ = ∠ВСК – як протилежні кути паралелограма;

2) ∠АВМ = ∠СКВ – як внутрішні різносторонні при AB ∥ CК і січній ВК. Тому ∆АВМ ~ ∆ВКС.

в) В ∆MKD і ∆ВKС:

1) ∠K – спільний;

2) ∠KDM = ∠KCВ – як відповідні при MD ∥ BC та січній CD.

Тому ∆MKD ~ ∆ВКС.

1. Периметр ∆АВМ:

∆АВМ ~ ∆MKD: AMMD = 128 = 1,5.

k = 1,5; P_∆ABM = k. P_∆MKD = 1,5p.

2. Периметр ∆ВКС:

AD = AM + MD = 12 + 8 = 20 (см); BC = AD = 20 см.

∆MKD ~ ∆BKC: BCMC = 208 = 2,5.

k = 2,5; P_∆BKC = k. P_∆MKD = 2,5p.

Відповідь: 1,5р; 2,5р.