Вправи: 1148

1148. Знайди площу трапеції, основи якої 24 см і 72 см, а кути при більшій основі 30° і 60°.

ABCD — трапеція, BC = 24 см; AD = 72 см, ∠А = 30°, ∠D = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. BCMK — прямокутник, тому KM = BC = 24 см, тоді MD + AK = 72 – 24 = 48 (см).

Нехай MD = х, тоді AK = 48 – х.

У ∆CMD ∠D = 60°, ∠C = 30°, тоді CD = 2MD = 2х (см).

За теоремою Піфагора CM = CD2- MD2 = 4x2- x2 = х3 (см).

СМ = ВК = х3 (см).

У ∆ABK ∠А = 30°, ∠В = 60°. ∆АВK ~ ∆CDM (за двома кутами).

3 подібності трикутників: AKCM = BKMD; 48-xx3 = x3x.

48х – x² = Зх²; 48 – 4х² = 0;

4х(12 – х) = 0, х = 0 — не є розв’язком задачі. 12 – х = 0

х = 12 (см). MD = 12 см;

CM = х3 = 123.

S_ABCD = BC+AD2 • CM = 24+722 • 123 = 48 • 123 = 5763 (см²).