Вправи: 1141

1141. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута.

Знайди площу трапеції, якщо основи її дорівнюють 10 см і 22 см.

ABCD — рівнобічна трапеція. AC — діагональ, бісектриса ∠А.

BC = 10 см; AD = 22 см;

∠CAD = ∠ACB (внутрішні різносторонні при паралельних BC, AD і січній AC). Але ∠CAD = ∠ВАС за умовою, тому ∠ВАС = ∠BCA. Отже, ∆BAC — рівнобедрений, тому BC = AB = 10 см. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD; BCKM — прямокутник, тому KM = 10 см; AK + MD = 22 – 10 = 12 см, але AK = MD (з рівності ∆ABK і ∆DCM). Тому AK = 12 : 2 = 6 см.

З ∆ABK прямокутного BK = AB2-AK2 = 102- 62 = 64 = 8 (см).

S_ABCD = 10-222 • 8 = 16 • 8 = 128 (см²).