Вправи: 1139

1139. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо вписане в неї коло точкою дотику ділить її бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см.

ABCD — трапеція, O — центр кола, вписаного в трапецію. K — точка дотику до сторони AB. BK = 4 см; АК = 9 см.

AB = AK + KB = 9 + 4 = 13 (см);

CD = 13 (см). Якщо в чотирикутник вписано кола, то суми протилежних сторін рівні, тобто ВС + AD = AB + CD = 13 + 13 = 26 (см).

Т. O однаково віддалена від сторін кута А і від сторін кута В, тому т. O — точка перетину бісектрис ∠A і ∠B .

∠ВАО + ∠ABO = 12(∠А + ∠В) = 12 • 180° = 90°; тому ∠BOA = 90°,

тобто ∆ABO — прямокутний; OK ⊥ AB; ∆OKB і ∆OKA — прямокутні. Нехай ∠KAO = α, тоді ∠KOA = 90°– α (з ∆OKA). ∠KBO = 90° – α (з ∆ABO). Отже, ∆AKO ~ ∆OKB. Звідси AKOK = OKKB, тоді OK² = AK • KB = 9 • 4 = 36.

Звідси OK = 6 см. Якщо OK = 6 см, то H = ON + OP = 6 + 6 = 12(см).

(ON = OP = OK = r).

S_ABCD = BC+AD2 • H = 262 • 12 = 156 (см²).