Вправи: 1016

1016. В опуклий шестикутник, усі сторони якого дорівнюють а і кути рівні, вписано коло, а в це коло вписано квадрат. Знайди довжину сторони квадрата.

ACBDMP — даний шестикутник, у якого

AB = BC = CD = DM = MP = PA = а,

O — центр кола, вписаного в шестикутник. KZNE — квадрат, вписаний в це коло. Розглянемо ∆BOC : ∠BOC = 60°; BO = OC

(як радіуси одного кола). Отже ∆BOC

рівнобедрений. Тому ∠OBC = ∠OCB = (1800 – 60°) : 2 = 60°. Звідси маємо: ∆BOC рівносторонній.

BC = а : OC = а. OK ⊥ BC. (K — точка дотику кола до сторони BC).

∆KOC — прямокутний. K — середина BC. ∆KOC — прямокутний.

KC = a2 : OC = а. За теоремою Піфагора: OK = a2- (a2)2 = a32.

OK — радіус кола. KZNE — квадрат, вписаний в коло. Розглянемо

∆KOZ — прямокутний (діагоналі квадрата перпендикулярні)

KO = OZ = r = a32. За теоремою Піфагора:

KZ = (a32)2+(a32)2 = 3a24+3a24 = 6a24 = 12a6.