Вправи: 1015

1015. Радіус вписаного у прямокутний трикутник кола позначено

через r, а половину периметра трикутника — через р. Визнач гіпотенузу.

∆ABC — даний трикутник, у якого ∠C = 90°, O —

центр кола, вписаного в ∆ABC.

OK = r — радіус кола. AC+CB+AB2 = P.

M, К, P — точки дотику кола до сторін AC, CB, AB.

OM = OP = ОK (як радіуси одного кола). OM ⊥ AC, OK ⊥ CB, OP ⊥ AB, ∆OMA, ∆OPA, ∆OKB, ∆OPB —

прямокутники. ∆ОМА = ∆OPA (OM = OP; AO — спільна гіпотенуза). Звідси AM = AP. ∆ОКВ = ∆ОРВ (OK = OP; OB — спільна гіпотенуза). Звідси KB = PB. Нехай AM = х, тоді AP = x; KB = у, тоді PB = у. AC = х + r, СВ = у + r; АВ = х + у. Так як периметр ∆ABC дорівнює Р, то x+r+y+r+x+y2 = P; 2(x+y+r)2 = P.

х + у + r = P, так як AB = х + у, то AB + r = P, тоді AB = P – r.