Вправи: 1013

1013. Знайди радіус кола, описаного навколо трапеції з основами

12 см і 24 см та бічною стороною 610 см.

ABCD — дана трапеція, у якої BC = 12 см;

AD = 24 см, AB = 610 см.

O — центр кола, описаного навколо

трапеції. OA = OB = OC = OD = R, тому

O лежить на серединному перпендикулярі

до BC і AD, нехай O ∈ MN, M ∈ BC , N ∈ AD. M — середина BC, BM = 6 см, AN = 12 см. Проведемо BZ ⊥ AN, ZBMN — прямокутник ZN = BM = 6 см. Тому AZ = 12 – 6 = 6 см. ∆ABZ — прямокутний.

BZ = (610)2-62 = 360-36 = 324 = 18 см, BZ = MN = 18 (см). Нехай ON = x, тоді OM = 18 – х.

З ∆BMO за теоремою Піфагора OB² = OM² + BM² = (18 – x)² + 6².

З ∆AON за теоремою Піфагора, OA² = ON² + AN² = x² + 12², так як

OB = OA (радіуси одного кола), то (18 – x)² + 6² = x² + 12²,

324 – 36х + x² + 36 = x² + 144, –36х = –216, х = –216 : (–36), х = 6.

ON = 6, тоді OA = AN2+ ON2 = 122+ 62 = 144+36 = 80 = 65 (см).