Вправи: 1011

1011. Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см. Знайди: а) радіус кола, вписаного в трикутник; б) радіус кола, описаного навколо трикутника.

ABC — даний трикутник, у якого AB = BC = 10 см; AC = 12 см.

O — центр вписаного кола в ∆ABC.

BK — висота, медіана, бісектриса трикутника.

O лежить на BK. OK = OM = OP = r.

∆АОК = ∆АОМ (вони прямокутні AO — спільна гіпотенуза; OK = OM = r — катети), тому AK = AM. Оскільки K — середина AC, то AK = 6 см, отже AM = 6 см, а MB = 10 – 6 = 4 (см). ∆ABK — прямокутний. AB = 10 см, AK = 6 см. За теоремою Піфагора BK = 102- 62 = 64 = 8 (см). Якщо OK = r, то BO = 8 – r (см). Розглянемо прямокутний ∆OMB: OM = r; MB = 4, OB = 8 – r. За теоремою Піфагора: (8 – r)² = r² + 4², 64 – 16r + r² = r² + 16, –16r = –48, r = 3. Отже, радіус вписаного кола r = 3 (см). Аналогічно знайдемо R — радіус описаного кола. AK = 6 см; BK = 8 см. Нехай O — центр описаного кола, OA = OB = OC = R.

O лежить на BK (висота ∆ABC). OB = R, тому OK = BK – OB = 8 – R.

∆AOK — прямокутний, у якому OA = R — гіпотенуза.

AK = 6 : OK = 8 – R — катети. За теоремою Піфагора: AO² = AK² + OK². R² = 6² + (8 – R)², R² = 36 + 64 – 16R + R², 16R = 100.

R = 10016, R = 6,25 (см).

Відповідь: r = 3 см; R = 6,25 см.