Вправи: 1008

1008. В опуклий шестикутник з рівними сторонами і кутами вписано коло і точки дотику через одну послідовно сполучено відрізками. Доведи, що утворений трикутник — рівносторонній.

ACBDMP — даний шестикутник, у якого

AB = BC = CD = DM = MP = PA, у якого ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠M = ∠P. O — центр кола, вписаного в шестикутник. Е, F, N, Q, Z, S — точки дотику кола до сторін шестикутника. З’єднаючи послідовно точки дотику, одержали

∆ENZ. ∠A = 180° •(6-2)6 = 120°. E — середина АР, бо OE ⊥ AP, OA = OP (∆AOP — рівнобедрений, OE — висота і медіана). Аналогічно N — середина BC. За теоремою Фалеса AB ∥ EN ∥ PC. Тоді ∠A = 120°, ∠AEN = 60°, аналогічно ∠PEZ = 60°, тоді ∠NEZ = 180° – (60° + 60°) = 60°.

Аналогічно можна довести, що ∠ENZ = ∠NZE = 60°. У ∆ENZ все кути рівні 60°. Отже, ∆ENZ — рівносторонній.