Вправи: 1006

1006. П’ятикутник ABCDE, усі сторони якого рівні, вписано в коло.

а) Доведіть, що всі його кути рівні. б) Знайдіть міру одного з його кутів. в) Знайдіть кут між діагоналями, що виходять з однієї вершини. г) Знайдіть кут між двома діагоналями, які перетинаються у внутрішніх точках. ґ) Доведіть, що в п’ятикутника, обмеженого всіма діагоналями п’ятикутника ABCDE, всі кути рівні.

ABCDM — п’ятикутник, вписаний у коло.

а) За умовою AB = BC = CD = DM = AM, OA = OBOC = OD = OM як радіуси одного кола. Тому ∆OAB = ∆OBC = ∆OCD = ∆ODM = ∆ОМА (за трьома сторонами). Звідси ∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB = ∠OCD = ∠ODC = ∠ODM = ∠OMD = ∠OAM = ∠OMA = α. Тоді ∠A = ∠OAB + ∠OAM = α + α = 2α.

∠B = ∠OBA + ∠OBC = α + α = 2α.

Аналогічно ∠C = 2α, ∠D = 2α, ∠M = 2α.

Отже, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠M.

б) 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540° — сума всіх кутів п’ятикутника. Тоді кожен кут дорівнює 540 : 5 = 108°.

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠M = 108°.

в) Знайдемо кут між діагоналями AC і AD, тобто ∠CAD. ∠CAD —

вписаний в коло кут, ∠COD — відповідний центральний кут.

∠COD = 360° : 5 = 72°, тому ∠CAD = 12∠COD = 12 • 72° = 36°.

г) Знайдемо кут між діагоналями AC і BD, тобто ∠CPK.

∠ACM = 36°; ∆CPK — рівнобедрений.

∠CPK = ∠CPD = 12(180° – 36°) = 12 • 144° = 72°.

Отже, кут між діагоналями AC і BD дорівнює 72°.

ґ) PKNZE — п’ятикутник, обмежений всіма діагоналями п’ятикутника.

∠KPE — суміжний з ∠CPK, тоді ∠KPE = 180° – 72° = 108°. Аналогічно,

∠PKN = 108° і. т. д. Отже, всі кути п’ятикутника PKNZE рівні між собою.